Question

【題目】平面直角坐標系xoy中，已知橢圓:的離心率為，左、右焦點分別是F1,F2 ， 以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓:為橢圓上任意一點，過點的直線y=kx=m交橢圓 于,兩點，射線交橢圓于點.
(1)求的值；
(1)求面積的最大值

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

(1)2;(2)

【解析】（I)由題意知2a＝4，則a＝2,又＝,可得b=1
所以橢圓c的標準方程為，
（II）由（1）知橢圓E的方程為
(1設，=，由題意知，應為,
又,即=2
（2）A,B,將y=kx+m代入E的方程
由，可得.......................①
則有+=
所以=
應為直線y=kx+m與軸交點坐標為（0，m)
所以的面積
,將y=kx+m代入圓C的方程可得
由，可得............................................②
由①②可知
因此，故
當且僅當t=1，即時取最大值
由（1）知，面積為，所以面積最大值為
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義和橢圓的標準方程，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．