Question

【題目】設函數,.
（1）（I）求的單調區間和極值；
（2）（II）證明：若存在零點，則的區間（1，]上僅有一個零點。

Answer 1

【答案】
（1）

f(x)的單調遞減區間是（0，），單調遞增區間是；

f(x)在處取得極小值。

（2）

見解答

【解析】
（I）由，（）得.由f(x)=0解得。
f(x)與f(x)在區間（0，+）上的情況如下：

x	(0,)		()
f'(x)	-		+
f(x)

所以，f(x)的單調遞減區間是（0，），單調遞增區間是；
f(x)在處取得極小值。
（II）因為f(x)存在零點，所以，。
當k=e時，f(x)在區間（1，）上單調遞減，且,
所以x=時，f(x)在區間（0，）上單調遞減，且f(1)=0,,
所以f(x)在區間（1，]上僅有一個零點。
【考點精析】關于本題考查的基本求導法則和利用導數研究函數的單調性，需要了解若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．