Question

【題目】某公園計劃在矩形空地上建造一個扇形花園如圖①所示，矩形的邊與邊的長分別為48米與40米，扇形的圓心為中點，扇形的圓弧端點，分別在與上，圓弧的中點在上．

（1）求扇形花園的面積（精確到1平方米）；

（2）若在扇形花園內開辟出一個矩形區域為花卉展覽區．如圖②所示，矩形的四條邊與矩形的對應邊平行，點，分別在，上，點，在扇形的弧上．某同學猜想：當矩形面積最大時，兩矩形與的形狀恰好相同（即長與寬之比相同），試求花卉展覽區面積的最大值，并判斷上述猜想是否正確（請說明理由）．

Answer 1

【答案】(1) 平方米 (2) 花卉展覽區面積的最大值為平方米，該同學的猜想是正確的.

【解析】

(1) 設，則,在，求出角，利用扇形的面積公式可求出扇形的面積.
(2) 在圖②中，連，設,在中求出，又，所以矩形的面積化簡可得，從而可得出答案.

(1)設，則，

在直角三角形中，,.

所以.

所以扇形花園的面積約為平方米.

(2)在圖②中，連，設，.

則在中，由，可得

連接交于點，則,.

所以

所以矩形的面積

當且僅當,即時，取最大值.

的最大值為，所以花卉展覽區面積的最大值為平方米.

當的面積最大時，

此時從而兩矩形長和寬之比相等.

所以兩矩形的形狀相同，即該同學的猜想是正確的.