Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數在定義域上的單調性；

（2）令函數，是自然對數的底數，若函數有且只有一個零點，判斷與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當或時，在上單調遞增, 當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；（2）.

【解析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）根據函數的單調性求出在上有唯一零點，由已知函數有且僅有一個零點，則，得，令，故，利用導數研究函數的單調性，求出零點的分布情況，從而可求出的取值范圍即可.

（1）由已知，且,

①當時，即當時，,

則函數在上單調遞增.

②當時，即或時，有兩個根，

，因為，所以,

1°當時，令，解得,

當或時，函數在上單調遞增,

2°當時，令，，

解得,

當時，函數在上單調遞減，

在上單調遞增；

3°當時，令，解得,

當時，函數在上單調遞減.

（2）函數,

則,

則，所以在上單調增,

當，所以

所以在上有唯一零點,

當，所以為的最小值

由已知函數有且只有一個零點，則

所以則

則，得,

令，所以

則，所以,

所以在單調遞減，

因為,

所以在上有一個零點，在無零點,

所以 .