Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），當|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

時，求實數t取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知e=

c

a

=

2

2

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判別式和嘏達定理進行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意知e=

c

a

=

2

2

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．
即a²=2b²．（2分）
又因為b=

2

1+1

=1，所以a²=2，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

．（6分）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

∵

OA

+

OB

=t

OP

∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

∵點P在橢圓上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，∴16k²=t²（1+2k²）．（8分）
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜

20

9

∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4•

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k2＞

1

4

．（10分）
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，∵16k²=t²（1+2k²），∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，∴實數t取值范圍為(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和求實數t取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用根的判別式和韋達定理進行解題．