Question

如圖，在120°二面角α-l-β內(nèi)半徑為1的圓O₁與半徑為2的圓α分別在半平面α、l內(nèi)，且與棱l切于同一點(diǎn)P，則以圓O₁與圓f（x）=2sin（ωx-

π

6

）sin（ωx+

π

3

）為截面的球的表面積等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意設(shè)球心到圓O₁的距離為x，到半徑為2的圓O的距離為y，球的半徑為R，從而可得x²+1=R²，y²+4=R²，再由解三角形可得x²+y²-xy=7，從而求出R²，進(jìn)而求表面積．

解答： 解：設(shè)球心到圓O₁的距離為x，到半徑為2的圓O的距離為y，
球的半徑為R，則
x²+1=R²，
y²+4=R²，
又∵二面角α-l-β為120°，且兩圓與棱l切于同一點(diǎn)P，
∴解三角形可得，
x²+y²-2xycos60°=1²+2²-2×1×2×cos120°，
即x²+y²-xy=7，
聯(lián)立可得，

x2+1=R2 y2+4=R2 x2+y2-xy=7

，
解得，R²=

28

3

，x=

5 3

3

，y=

4 3

3

，
故球的表面積S=4πR²=

112π

3

；
故答案為：

112π

3

．

點(diǎn)評：本題考查了球的幾何結(jié)構(gòu)，同時考查了學(xué)生的空間想象力與化簡計(jì)算的能力，屬于難題．