Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為是矩形，PA⊥底面ABCD，E為棱PD的中點，AP=2，AD=2

3

，且三棱錐E-ACD的體積為

3

．
（Ⅰ）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求直線AE與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由三棱錐體積求CD的長度，建立坐標系，得到

PB

∥

EO

，可證PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設平面PAC的一個法向量

n

=（x，y，z），利用

AP

•

n

=0，且

AC

•

n

=0求一個法向量，利用

AE

，

n

的數(shù)量積求它們的夾角余弦值．

解答： 解：（ I）由VE-ACD=

1

3

•

1

2

AD•CD•

1

2

PA=

3

，得CD=3，---------------------（2分）
如圖所示，以A為坐標原點，

AB

方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系由已知，A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，2

3

，0)，D(0，2

3

，0)，P(0，0，2)E(0，

3

，1)
取AC中點O，O(

3

2

，

3

，0)，
則

PB

=(3，0，-2)，

EO

=(

3

2

，0，-1)，

PB

=2

EO

，

PB

∥

EO

，
即PB∥EO---------------------（4分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC---------------------（6分）
（ II）

AE

=(0，

3

，1)，

AP

=(0，0，2)，

AC

=(3，2

3

，0)
設平面PAC的一個法向量

n

=（x，y，z）
則

AP

⊥

n

，且

AC

⊥

n

，即

AP

•

n

=0，且

AC

•

n

=0
∴

2z=0 3x+2 3 y=0

，令x=1，解得

n

=(1，-

3

2

，0)--------------------（8分）
cos＜

AE

，

n

＞=

- 3 2

3+1 • 1+ 3 4

=-

3 7

14

---------------------（10分）
直AE與平面PAC所成角的正弦值為

3 7

14

---------------------（12分）

點評：本題考查了線面平行的判定以及線面角的求法；本題借助于向量解答，體現(xiàn)了向量的工具性，屬于中檔題．