Question

（2013•浙江模擬）已知正項數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足an=

Sn

+

sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求證：{

Sn

}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，若對任意的n∈N^*，不等式4T_n＜a²-a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，sn-sn-1=

sn

+

sn-1

，結合等差數列的通項公式可求s_n，進而可求a_n
（II）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和可求T_n，求出T_n的范圍可求a的范圍

解答：解：（I）∵an=

Sn

+

sn-1

∴sn-sn-1=

sn

+

sn-1

∴

sn

-

sn-1

=1
∴數列{

sn

}是首項為1，公差為1的等差數列
∴

sn

=1+(n-1)=n
∴sn=n2
∴an=

sn

+

sn-1

=n+n-1=2n-1（n≥2）
當n=1時，a₁=1也適合
∴a_n=2n-1
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

∴T_n＜

1

2

∵4T_n＜a²-a恒成立
∴2≤a²-a，解得a≥2或a≤-1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求數列的通項公式，及數列的裂項求和方法的應用及恒成立與最值求解的應用．