Question

以下各命題：
①若棱柱的兩個相鄰側面是矩形，則它是直棱柱；
②若用一個平行于三棱錐底面的平面去截它，把這個三棱錐分成體積相等的兩部分，則
截面面積與底面面積之比為1：

2

；
③垂直于兩條異面直線，且到它們的距離都為同一定值d（d＞0）的直線一共有4條；
④存在側棱長與底面邊長相等的正六棱錐．
其中正確的有

①③

（填寫正確命題的序號）

Answer 1

分析：對于①說明側棱垂直底面；②由一個錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，截面面積與底面面積之比等于相似比的平方，容易得出答案．③畫出示意圖即可；④若正六棱錐底面邊長與側棱長相等，正六棱錐的側面構成等邊三角形，側面的六個頂角都為60度，六個頂角的和為360度，這是不可能的，故側棱長 l和底面正六邊形的邊長不可能相等．從而選出答案．

解答：解：對于①，相鄰兩側面垂直于底面，則側棱垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，因而①正確；
②若用一個平行于三棱錐底面的平面去截它，把這個三棱錐分成體積相等的兩部分，則小棱錐與大棱錐的體積之比為

1

2

，相似比為：

1

3 2

，截面面積與底面面積之比為

1

3 4

；故錯；
對于③，四條，如圖：
平行線中，虛線實線的距離為2，過那四個交點的垂直于平面的四條直線就是所求．
④若正六棱錐底面邊長與側棱長相等，
則正六棱錐的側面構成等邊三角形，側面的六個頂角都為60度，
∴六個頂角的和為360度，
這樣一來，六條側棱在同一個平面內，
這是不可能的，故錯．
其中正確的有①③
故答案為①③．

點評：本題考查棱柱的結構特征、棱錐的結構特征、異面直線的判定，是基礎題．