Question

已知函數f(x)=

1

lg(2x+ 1 2x +m)

的定義域是R，則實數m的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-2）

B．（-∞，-1）

C．（-1，+∞）

D．（-2，+∞）

Answer 1

分析：由對數函數的定義可知真數大于0，根據分母不為0，得到2x+

1

2x

+m＞0且2x+

1

2x

+m≠1恒成立，利用基本不等式及二次方程實根的分布求出m的范圍．

解答：解：要使函數有意義，需要滿足2x+

1

2x

+m＞0且2x+

1

2x

+m≠1恒成立，
∵2^x＞0，∴2^x+

1

2x

≥2，當且僅當2^x=

1

2x

，即x=0時取等號，
所以令2x+

1

2x

+m≥2+m＞0，解得m＞-2，
又2x+

1

2x

+m≠1，令2^x=t＞0，化為t+

1

t

+m≠1，
∵t＞0，∴當t²+（m-1）t+1=0沒有解或解為負數時，t²+（m-1）t+1≠0，
若△=（m-1）²-4＜0，解得：-1＜m＜3，方程無解，滿足題意；
若t²+（m-1）t+1=0沒有正數解，根據兩根之積為1＞0，得到兩根為同號，
故要保證兩根為負數，需

△=(m-1)2-4≥0 1-m＜0

，解得m≥3，
綜上，實數m的范圍是m＞-1，
則實數m的取值范圍是（-1，+∞）．
故選C．

點評：此題考查了對數函數的定義域，求對數函數定義域時注意真數大于0且分母不為0．解答此題時運用了基本不等式，韋達定理，以及換元的思想，要求學生掌握知識要全面，考慮問題要周全．