Question

連接球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別為2

7

和4

3

，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，兩條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，有下面四個(gè)命題：
①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M；
②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正確命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由球的弦與直徑的關(guān)系，判定選項(xiàng)的正誤，然后回答該題．

解答：解：②錯(cuò)誤．易求得M、N到球心O的距離分別為3、2，
若兩弦交于N，則OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．
分別取球O的兩條弦AB、CD的中點(diǎn)E、F，則OE=

42-7

=3，OF=

42-12

=2，
即可以看做弦AB、CD分別是球半徑為3和2的球的切線，且弦AB在半徑為2的球的外部，
弦AB與CD只可能相交與M點(diǎn)，且MN的最大距離為2+3=5，最小距離為3-2=1，當(dāng)M、O、N共線時(shí)分別取最大值5最小值1．
綜上可得正確的命題的序號為①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了球體的切線的性質(zhì)及其空間位置關(guān)系問題，此類考題對空間想象能力的要求較高，考生對與命題①②的正確性不能分析到位，是該題的錯(cuò)誤率較高．本題考查球面距離及其計(jì)算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．