Question

如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證：

（1）l是⊙O的切線；
（2）PB平分∠ABD.

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析.

解析試題分析：（1）連結OP,通過證明OP//BD得OP⊥l.，從而l是⊙O的切線；（2）連結AP，由（1）知l是⊙O的切線所以∠BPD=∠BAP，又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.

試題解析：（1）連結OP，
因為AC⊥l，BD⊥l，     所以AC//BD.
又OA=OB，PC=PD，    所以OP//BD，從而OP⊥l.
因為P在⊙O上，     所以l是⊙O的切線. ...........5分
（2）連結AP，
因為l是⊙O的切線，     所以∠BPD=∠BAP. 
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.    .........10分
考點：圓的切線、幾何證明選講.