Question

若不存在整數x使不等式（kx-k²-4）（x-4）＜0成立，則實數k的取值范圍是________．

Answer 1

1≤k≤4
分析：設原不等式的解集為A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四種情況考慮，當k等于0時，代入不等式得到關于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；當k大于0且k不等于2時，不等式兩邊除以k把不等式變形后，根據基本不等式判斷 與4的大小即可得到原不等式的解集；當k等于2時，代入不等式，根據完全平方式大于0，得到x不等于4，進而得到原不等式的解集；當k小于0時，不等式兩邊都除以k把不等式變形后，根據 小于4，得到原不等式的解集，綜上，得到原不等式的解集；
解答：設原不等式的解集為A，
當k=0時，則x＞4，不合題意，
當k＞0且k≠2時，原不等式化為[x-（ ）]（x-4）＞0，
∵，
∴，要使不存在整數x使不等式（kx-k²-4）（x-4）＜0成立，
須，解得：1≤k≤4；
當k=2時，A=（0，4），不合題意，
當k＜0時，原不等式化為[x-（ ）]（x-4）＞0，
∴A=（-∞，）∪（4，+∞），不合題意，
故答案為：1≤k≤4．
點評：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數學思想，同時考查了運算能力，是一道中檔題．