Question

（Ⅰ）已知函數：求函數的最小值;
（Ⅱ）證明:；
（Ⅲ）定理:若 均為正數,則有 成立(其中．請你構造一個函數，證明：
當均為正數時，．

Answer 1

（Ⅰ）當時，的最小值為（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

（Ⅰ）令
得……………………………………2分
當時，　 　故在上遞減．
當   故在上遞增．
所以，當時，的最小值為….……………………………………..4分
（Ⅱ）由，有　即
故　．………………………………………5分
（Ⅲ）證明:要證：
只要證：
設…………………7分
則
令得…………………………………………………….8分
當時，

故上遞減，類似地可證遞增
所以的最小值為………………10分
而=
=
=
由定理知:  故

故 
即: .…………………………..14分
………12分