Question

設a＞0，函數f（x）＝-ax在[1，＋∞）上是單調函數．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）設≥1，f（x）≥1，且f（f（））＝，求證：f（）＝．

Answer 1

（1）a的取值范圍是（0，3．
　　（2）證明見解析

（1）任取、[1，＋∞]且＜，則
　　．
　　∵　，∴　．
　　顯然，不存在一個常數a，使得恒為負數．
　　∵　f（x）有確定的單調性，　∴　必存在一個常數a，使恒為正數，即．
　　∴　a≤3，這時有f（）＞f（）．　∴　f（x）在[1，＋∞上是增函數，故a的取值范圍是（0，3．
　　（2）設f（）＝u，則f（u）＝，于是
　　則，　即　．
　　∵　，，　，
又∵　，∴　．　∴　，即，故．