Question

【題目】已知橢圓與拋物線共焦點，拋物線上的點M到y軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點Q滿足．

（I）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（II）過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）． （II）．

【解析】試題分析：（I）根據拋物線上的點M到y軸的距離等于，可知點M到直線的距離等于點M到焦點的距離，由此求得且.由拋物線的定義及可求得點坐標，根據橢圓的定義求出，并由此求出橢圓的標準方程.（II）聯立直線的方程和拋物線的方程，利判別式等于零得到的一個等量關系.聯立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式大于零求得的取值范圍.求出截距的表達式，利用得取值范圍可求得截距的取值范圍.

試題解析：

（I）∵拋物線上的點M到y軸的距離等于，

∴點M到直線的距離等于點M到焦點的距離，

得是拋物線的準線，即，

解得，∴拋物線的方程為；

可知橢圓的右焦點，左焦點，

由拋物線的定義及，得，

又，解得，

由橢圓的定義得 ，

∴，又，得，

∴橢圓的方程為．

（II）顯然， ，

由，消去x，得，

由題意知，得，

由，消去y，得，

其中 ，

化簡得，又，得，解得，

切線在x軸上的截距為，又，

∴切線在x軸上的截距的取值范圍是．