Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）某旅游景區(qū)的觀景臺(tái)P位于高（山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO）為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα=

2

5

．現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C₀開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段…，第n-1段依次為
C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n（如圖所示），且C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n與AB所成的角均為β，其中0＜β＜90°，sinβ=

1

4

．試問(wèn)：
（1）每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盤山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì)），問(wèn)盤山公路的長(zhǎng)度和索道的長(zhǎng)度各是多少？
（2）若修建xkm盤山公路，其造價(jià)為

x2+100

 a萬(wàn)元．修建索道的造價(jià)為2

2

a萬(wàn)元/km．問(wèn)修建盤山公路至多高時(shí)，再修建上山索道至觀景臺(tái)，總造價(jià)最少．

Answer 1

分析：（1）在盤山公路上取一個(gè)點(diǎn)，作出該點(diǎn)到平面的垂線，再利用三垂線定理作出二面角棱的垂線，連接兩個(gè)垂足，利用三角函數(shù)的定義可求出索道長(zhǎng)與山高的倍數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論；
（2）設(shè)盤山公路修至山高的距離為x，建立關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極小值即為函數(shù)的最小值，從而得出最少總價(jià)對(duì)應(yīng)的x．

解答：解：（1）在盤山公路C₀C₁上任選一點(diǎn)D，作DE⊥平面M交平面M于E，過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，連接DF，易知DF⊥C₀F．sin∠DFE=

2

5

，sin∠DC₀F=

1

4

．
∵DF=

1

4

C₀D，DE=

2

5

DF，∴DE=

1

10

C₀D，
所以盤山公路長(zhǎng)度是山高的10倍，索道長(zhǎng)是山高的

5

2

倍，
所以每修建盤山公路1000米，垂直高度升高100米．
從山腳至半山腰，盤山公路為10km．從半山腰至山頂，索道長(zhǎng)2.5km．（6分）
（2）設(shè)盤山公路修至山高x（0＜x＜2）km，則盤山公路長(zhǎng)為10xkm，索道長(zhǎng)

5

2

（2-x）km．
設(shè)總造價(jià)為y萬(wàn)元，
則y=

(10x)2+100

a+

5

2

（2-x）•2

2

a=（10

x2+1

-5

2

x）a+10

2

a．
令y′=

10ax

x2+1

-5

2

a=0，則x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增，
∴x=1，y有最小值，即修建盤山公路至山高1km時(shí)，總造價(jià)最小，最小值為15

2

a萬(wàn)元．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解．