Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….

(1)分別求數列{xk}和{yk}的通項公式；

(2)令zk＝xkyk，求數列{zk}的前k項和Tk，其中k∈N*，k≤2 007.

 

Answer 1

（1）yk＝3k－1(k∈N*，k≤2 007)．（2）(k－1)·3k＋1＋3＋k2

【解析】(1)由框圖，知數列{xk}中，x1＝1，xk＋1＝xk＋2，

∴xk＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2 007)

由框圖，知數列{yk}中，yk＋1＝3yk＋2，

∴yk＋1＋1＝3(yk＋1)∴＝3，y1＋1＝3.

∴數列{yk＋1}是以3為首項，3為公比的等比數列，

∴yk＋1＝3·3k－1＝3k，∴yk＝3k－1(k∈N*，k≤2 007)．

(2)Tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]

記Sk＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k ①

則3Sk＝1×32＋3×33＋…＋(2k－1)·3k＋1 ②

①－②，得－2Sk＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k－1)·3k＋1

＝2(3＋32＋…＋3k)－3－(2k－1)·3k＋1＝2×－3－(2k－1)·3k＋1

＝3k＋1－6－(2k－1)·3k＋1＝2(1－k)·3k＋1－6

∴Sk＝(k－1)·3k＋1＋3∴Tk＝(k－1)·3k＋1＋3＋k2