Question

【題目】已知點D是橢圓C： =1（a＞b＞0）上一點，F1 ， F2分別為C的左、右焦點，|F1F2|=2 ，∠F1DF2=60°，△F1DF2的面積為
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，點P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1 ， k2 ， 當k1k2最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，橢圓C： =1（a＞b＞0）中，|F1F2|=2 ，

易知 ，

由

，

由余弦定理及橢圓定義有：

a2=4a=2，

又 ，∴ ，

從而

（2）解：根據題意，兩2種情況討論：

①當直線l垂直于x軸時，則 ；

②當直線l與x軸不垂直時，設A（x1，y1），B（x2，y2），

直線l的方程為y=k（x﹣1），

將y=k（x﹣1）代入 ，

整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，

則 ，

又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），

所以 ，

令 ，由h'（k）=0得 ，

所以當且僅當k=1時，k1k2最大，所以直線l的方程為x﹣y﹣1=0

【解析】1、利用面積公式可得| DF1| |DF2| = ，根據余弦定理以及橢圓的定義可求得a=2，即得橢圓的方程。
2、當直線l的斜率不存在時，k1 k2為定值；當直線l的斜率存在時，方程可設為y=k（x﹣1），與橢圓方程聯立后，根據韋達定理化簡整理可得 k 1 k2的關于k的式子，利用求導得到 k的值，進而得到k1k2的最大值故可得直線的方程。