Question

在平面內(nèi)有n（n∈N^*，n≥3）條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，若n條直線把平面分成f（n）個平面區(qū)域，則f（6）等于（　　）

• A、18
• B、22
• C、24
• D、32

Answer 1

分析：先求出幾個特殊的值，再分析前k條直線與第k+1條直線，把平面分成的區(qū)域之間的關(guān)系，歸納出關(guān)系式f（k+1）-f（k）=k+1，再根據(jù)數(shù)列求和求出f（n）的關(guān)系式，再求出f（6）的值．

解答：解：一條直線（k=1）把平面分成了2部分，記為f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…
設(shè)前k條直線把平面分成了f（k）部分，第k+1條直線與原有的k條直線有k個交點(diǎn)，這k個交點(diǎn)將第k+1條直線分為k+1段，這k+1段將平面上原來的f（k）部分的每一部分分成了2個部分，共2（k+1）部分，相當(dāng)于增加了k+1個部分，
∴第k+1條直線將平面分成了f（k+1）部分，則f（k+1）-f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得
f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n=1）=n，把這n-1個等式累加，得
f（n）-f（1）=2+3+…+n=

(n+2)(n-1)

2

，∴f（n）=2+

(n+2)(n-1)

2

部分．
當(dāng)n=6時，f（16）=2+20=22部分．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出第k項和第k+1項之間的關(guān)系，再利用數(shù)列求和求出f（n）的關(guān)系式，考查了分析問題和解決問題的能力．