Question

如圖，某旅游區擬在公路l（南北向）旁開發一個拋物線形的人工湖，湖沿岸上每一點到公路l的距離與到A處的距離相等，并在湖中建造一個三角形的游樂區MNC，三個頂點M，N，C都在湖沿岸上，直線通道MN經過A處．經測算，A在公路l正東方向200米處，C在A的正西方向100米處，現以點C為坐標原點，以線段CA所在直線為x軸建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的方程；
（2）試確定直線通道MN的位置，使得三角形游樂區MNC的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可得拋物線的焦點A（100，0），從而可求p，進而可求拋物線方程
（2）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）直線MN的方程為x=ny+100，聯立直線與拋物線方程，根據方程根與系數關系，可得y₁+y₂，y₁y₂，代入|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，從而可S_△CMN=

1

2

|CA||y₁-y₂|，結合二次函數的性質可求最小值

解答：解：（1）依題意，設所求的拋物線的方程為：y²=2px（p＞0）
∵焦點A（100，0）
∴

1

2

p=100即p=200
∴所求的拋物線的方程為：y²=400x（p＞0）
（2）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）直線MN的方程為x=ny+100
聯立

x=ny+100 y2=400x

可得y²-400ny-40000=0
∴y₁+y₂=400n，y₁y₂=-40000
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=400

1+n2

∴S_△CMN=

1

2

|CA||y₁-y₂|=

1

2

×100×400

1+n2

=20000

1+n2

當n=0時，即MN⊥AC時，△CMN的面積最小，最小面積為20000平方米
答：直線通道MN⊥AC時，游樂區CMN的面積最小，最小面積為20000平方米

點評：本題主要考查了由拋物線的性質求解拋物線方程，直線與拋物線位置關系的應用及方程的根與系數關系的應用