Question

如圖，某旅游區(qū)擬在公路l（南北向）旁開發(fā)一個拋物線形的人工湖，湖沿岸上每一點到公路l的距離與到A處的距離相等，并在湖中建造一個三角形的游樂區(qū)，三個頂點都在湖沿岸上，直線通道MN經(jīng)過A．經(jīng)測算，A在公路l正東方向200m處，C在A的正西方向100m處．現(xiàn)以點C為坐標(biāo)原點，以線段CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的方程；
（2）試判斷是否存在直線通道MN，使得三角形的游樂區(qū)的面積為20000

2

m2？并作說明．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，且得到p，則拋物線的方程可求；
（2）假設(shè)存在直線通道MN，使得三角形的游樂區(qū)的面積為20000

2

m2，設(shè)出MN所在直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到M，N兩點的縱坐標(biāo)的和與積，代入三角形面積公式后可求出直線方程，說明假設(shè)成立．

解答：解：（1）依題意，設(shè)所求的拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵拋物線的焦點A（100，0），
∴

p

2

=100，所求的方程為y²=400x；
（2）解法1：設(shè)點M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），直線MN的方程為x-100=ny，
聯(lián)立

x-100=ny y2=400x

消去x，得到y(tǒng)²-400ny-40000=0，∴y₁+y₂=400n，y₁•y₂=-40000，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

160000n2+160000

=400

n2+1

，
∴S△MNC=

1

2

|CA|•|y1-y2|=

1

2

×100×400

n2+1

=20000

n2+1

=20000

2

，
∴當(dāng)n=±1時，S_△MNC=20000

2

m2．
答：存在兩條MN的直線通道使面積是20000

2

m2．
解法2：設(shè)點M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
①當(dāng)直線的斜率k不存在時，
直線MN的方程為x=100，S_△MNC=20000；
②當(dāng)直線的斜率k存在時，
設(shè)直線MN的方程為y=k（x-100），易知k≠0，
聯(lián)立

y=k(x-100) y2=400x

消去x，得到y2-

400y

k

-40000=0，
∴y1+y2=

400

k

，y1•y2=-40000，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

160000 k2 +160000

=400

1 k2 +1

，
∴S△MNC=

1

2

|CA|•|y1-y2|=

1

2

×100×400

1 k2 +1

=20000

1 k2 +1

=20000

2

，
綜合①與②可知，當(dāng) 直線MN的斜率k=±1時，S_△MNC取到20000

2

m²．
答：存在兩條MN的直線通道使面積是20000

2

m2．

點評：本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題．