Question

【題目】設復數z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在復平面內對應的點在第一象限，且z＝－3＋4i.

(1)求z2及|z2|.

(2)若z1＝z2，求θ與a2的值．

Answer 1

【答案】(1) z2＝1＋2i，|z2|＝；(2) θ＝，a2＝4.

【解析】

（1）利用待定系數法設，根據復數的運算法則以及其相等的充要條件可求出以及；（2）根據可得關于和的方程組，解出即可.

(1)設，則，

因此.

所以，解得或

所以z2＝1＋2i，或z2＝－1－2i.

又因為z2在復平面內對應的點在第一象限，則z2＝－1－2i應舍去，

故z2＝1＋2i，|z2|＝.

(2)由(1)知(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i＝1＋2i，

即解得cos θ＝，

因為θ∈(0，π)，所以θ＝，所以a2＝1＋4sin2θ＝1＋4×＝4.

綜上可知θ＝，a2＝4.