Question

【題目】某農戶準備建一個水平放置的直四棱柱形儲水器（如圖），其中直四棱柱的高，兩底面是高為，面積為的等腰梯形，且，若儲水窖頂蓋每平方米的造價為100元，側面每平方米的造價為400元，底部每平方米的造價為500元．

(1)試將儲水窖的造價表示為的函數；

(2)該農戶如何設計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低，最低造價是多少元?（取）.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）當時，造價最低，最低造價為51840元.

【解析】試題分析：（1）過作，垂足為，令，先將 用 表示，再求出，即可將儲水窖的造價表示為的函數；（2）利用導數確定函數的單調性，即可求出為何值時有最小值，從而可得如何設計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低.

試題解析：（1）過作，垂足為，則，，令，從而，故，解得，，

所以

（2），

令，則，當時，，此時函數單調遞減；

當時，，此時函數單調遞增。所以當時，

答：當時，造價最低，最低造價為51840元.