Question

已知橢圓的左右焦點分別是，直線與橢圓交于兩點且當時，M是橢圓的上頂點，且△的周長為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左頂點為A，直線與直線：

分別相交于點，問當變化時，以線段為直徑的圓

被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由.

Answer 1

解：（1）當時，直線的傾斜角為，所以：…………3分

解得：， …………………………………………………………5分

所以橢圓方程是：；…………………………………………………………6分

當時，直線的方程為：，此時，點的坐標分別是，又點坐標是，由圖可以得到兩點坐標分別是，以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6，猜測當變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6，………………………………………………………………8分

證明如下：設點點的坐標分別是，則直線的方程是：，

所以點的坐標是，同理，點的坐標是，…………………9分

由方程組得到：，

所以：，………………………………………11分

從而：

=0，

所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6。……………13分