Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的最小值為0，求的值；

（2）設，求函數的單調區間；

（3）設函數與函數的圖像的一個公共點為，若過點有且僅有一條公切線，求點的坐標及實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調區間見解析；（3），

【解析】

（1）分類討論參數的值，利用導數得出函數的單調性，根據最值求出的值；

（2）函數整理為，分類討論參數的值，利用導數求函數的單調性即可；

（3）設出點P坐標，求出坐標間的關系得出，構造函數，討論函數的單調性解方程即可.

（1）首先，因，故，

注意到，故當時，，則函數在單調遞增，函數無最小值；

當時，若，，若，

所以函數在單調遞減，在單調遞增

故函數在處取最小值，則，即，故；

（2）因，故

①若，則，函數在上單調遞增；

②若

當，即，也即時

若時，或

若時，

所以函數在區間單調遞增，在，單調遞減；

當，即，也即時

若時，或

若時，

所以函數的單調區間是，單調減區間是和

當時，

所以函數的單調遞減區間是

綜上：

當，函數的單調遞區間是；

當時，函數的單調區間是，單調減區間是和

當時，函數的單調遞減區間是；

當時，函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是和.

（3）設點，

由題意得，即 ，解得

構造函數，，

當時，；當時，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，而

所以方程有唯一解，即

所以