Question

【題目】在四棱錐中，側面⊥底面，底面為直角梯形，//，，，，為的中點．

（Ⅰ）求證：PA//平面BEF；

（Ⅱ）若PC與AB所成角為，求的長；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）二面角的余弦值為.

【解析】分析：（Ⅰ）連接AC交BE于O，并連接EC，FO，由題意可證得四邊形ABCE為平行四邊形，則，//平面.

（Ⅱ）由題意可得，且，則，故.

（Ⅲ）取中點，連，由題意可知的平面角，由幾何關系計算可得二面角的余弦值為．

詳解：（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O，并連接EC，FO，

,為中點

AE//BC，且AE=BC

四邊形ABCE為平行四邊形

O為AC中點

又F為AD中點

，

，

//平面

（Ⅱ）由BCDE為正方形可得

由ABCE為平行四邊形可得//

為即

，

側面底面側面底面平面

，

，

.

（Ⅲ）取中點，連，

，，

平面，

的平面角，

又，

，

所以二面角的余弦值為．