Question

【題目】設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）． （Ⅰ）求g（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與 的大小關系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）﹣g（x）＜ 對任意x＞0成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設知f（x）=lnx，g（x）=lnx+ ，

∴g'（x）= ，令g′（x）=0得x=1，

當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調減區間．

當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調遞增區間，

因此，x=1是g（x）的唯一值點，且為極小值點，

從而是最小值點，所以最小值為g（1）=1．

（II）

設 ，則h'（x）=﹣ ，

當x=1時，h（1）=0，即 ，

當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（1）＜0，

因此，h（x）在（0，+∞）內單調遞減，

當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，即 ，

當x＞1時，h（x）＜h（1）=0，即 ．

（III）由（I）知g（x）的最小值為1，

所以，g（a）﹣g（x）＜ ，對任意x＞0，成立g（a）﹣1＜ ，

即Ina＜1，從而得0＜a＜e．

【解析】（I）求導，并判斷導數的符號確定函數的單調區間和極值、最值，即可求得結果；（Ⅱ）通過函數的導數，利用函數的單調性，判斷兩個函數的大小關系即可．（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結論，轉化不等式，求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．