Question

設f（x）=（ax+b）lnx-4ax，對于任意的a∈（1，2），f（x）均單調遞增，則b的取值范圍為

[2e²，+∞）

．

Answer 1

分析：已知f（x）=（ax+b）lnx-4ax，對于任意的a∈（1，2），f（x）均單調遞增，說明f′（x）≥0恒成立，可以推出a與b的關系，再利用常數分離法進行求解；

解答：解：∵f（x）=（ax+b）lnx-4ax，對于任意的a∈（1，2），f（x）均單調遞增，
∴f′（x）=alnx+（ax+b）×

1

x

-4a≥0在x＞0上為單調增函數，
∴（ax+b）×

1

x

≥4a-alnx，
∴b≥3ax-axlnx（x＞0），
令g（x）=3ax-axlnx=a（3x-xlnx）（x＞0），a∈（1，2），
求3x-xlnx的最大值，令h（x）=3-（lnx+1）=0，可得x=e²，
存在唯一極值點也是最大值點，h（x）_max=h（e²）=3e²-e²×2=e²，
∴g（x）_max=2×e²=2e²，∴b≥2e²，
故答案為：[2e²，+∞）；

點評：此題主要考查函數的單調性與導數的關系，解題過程中用到了常數分離法，此題是一道基礎題；