Question

（本題滿分10分）如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點E，EF∥CB，EF交AD的延長線于點F，FG切圓O于點G.
（1）求證：△DFE∽△EFA；
（2）如果EF=1，求FG的長.

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析.

（1）在已有一個公共角∠DFE=∠EFA情況下，關鍵再證∠DEF=∠FAB即可.
(2) ∵△DFE∽△EFA，∴=.∴EF²=FA·FD.
∵FG切圓于G，∴FG²=FA·FD.到此問題基本得到解決.
（1）證明 ∵EF∥CB，
∴∠DEF=∠DCB.
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DEF=∠DAB.
∵∠DFE=∠EFA，
∴△DFE∽△EFA.
（2）∵△DFE∽△EFA，∴=.
∴EF²=FA·FD.
∵FG切圓于G，∴FG²=FA·FD.
∴EF²=FG².∴EF=FG.∵EF=1，∴FG=1.