Question

.選修4-1：幾何證明選講：
如圖，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于點E， 點D在AB上，．

(Ⅰ)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
(Ⅱ)若，求EC的長．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) EC=． 

（I）只需證明：設圓心為O，則證明即可.進一步可考慮證明OE//BC.
(II)可以利用切割線定理解決，先通過,求出半徑長，再利用OE//BC，可得，求出EC的長.
(Ⅰ)取BD的中點O，連接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線． --------------------5分
(Ⅱ)設⊙O的半徑為r，則在△AOE中，
，即，解得,
∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=．   ------------------------------10分