Question

【題目】（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費和年銷售量數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中=，=

（Ⅰ）根據散點圖判斷，與，哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

（III）已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為，根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：

（Ⅰ）當年宣傳費時，年銷售量及年利潤的預報值時多少？

（Ⅱ）當年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數據,，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）適合作為年銷售關于年宣傳費用的回歸方程類型；（Ⅱ）；（Ⅲ）46.24

【解析】

(Ⅰ)根據散點圖，即可判斷出結論，建立線性回歸方程，求出d、c的值；

(Ⅱ)先建立中間量w=，建立y關于w的線性回歸方程，根據公式求出w，問題得以解決；

(Ⅲ) （ⅰ）由(Ⅱ)知可計算出年銷售量y的預報值與年利潤z的預報值；

（ⅱ）根據（Ⅱ）的結果知，可得年利潤z的函數，求出年利潤的最大值.

解：(Ⅰ)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.

(Ⅱ)令w=,先建立y關于w的線性回歸方程.由于

所以y關于w的線性回歸方程為=100.6+68w,

因此y關于x的回歸方程為=100.6+68.

(Ⅲ) （ⅰ）由(Ⅱ)知,當x=49時,年銷售量y的預報值

=100.6+68=576.6,

年利潤z的預報值=576.6×0.2-49=66.32.

（ⅱ）根據（Ⅱ）的結果知，年利潤z的預報值

=0.2（100.6+68）-x=-x+13.6+20.12,

∴當=即x=46.24時取最大值.

故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.