Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，G為PD的中點，E是AB的中點.

（Ⅰ）求證：AG∥平面PEC；  
（Ⅱ）求點G到平面PEC的距離．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）要證明一條直線和一個平面平行，只需在面內找一條直線與之平行，如果找不到，可將這條直線平移到平面內，取中點，連接,則是的中位線，則有,∥，又∥,,∴可證四邊形是平行四邊形，從而∥，可證∥面；
（Ⅱ）點到平面的距離指的是點到平面垂線段的長度，如果垂足不好確定，可考慮四面體的等體積轉換，由（Ⅰ）知∥面，∴點和點到面的距離相等，設點到平面的距離為
由，可求.

試題解析：（Ⅰ）證明：取PC的中點F,連接GF,則∥又∥,且
∴,∥,四邊形GAEF是平行四邊形 ∴∥------4分
又，   ∴∥面 .    6分
（Ⅱ）由∥面,知點和點到面的距離相等,設點到平面的距離為，
∴ ，      9分
又， ,
∴      10分
又 ，∴，
即，
∴，∴ G點到平面PEC的距離為．         12分