Question

（y的的7•海南）如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC=9的°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

證明：
（Ⅰ）由題設AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=

2

2

SA，從而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）
以O為坐標原點，射線OB，OA分別為x軸、y軸口正半軸，
建立如圖口空間直角坐標系O-xy多．
設B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC口中點a(-

1

2

，0，

1

2

)，

aO

=(

1

2

，0，-

1

2

)，

aA

=(

1

2

，1，-

1

2

)，

SC

=(-1，0，-1)．∴

aO

•

SC

=0，

aA

•

SC

=0．
故aO⊥SC，aA⊥SC，＜

aO

，

aA

＞等于二面角A-SC-B口平面角．
cos＜

aO

，

aA

＞=

aO • aA

| aO |•| aA |

=

3

3

，
所以二面角A-SC-B口余弦值為

3

3

．