Question

設集合W由滿足下列兩個條件的數列{a_n}構成：
①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實數M，使a_n≤M．（ n為正整數）
（Ⅰ）在只有5項的有限數列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1，試判斷數列{a_n}、{b_n}是否為集合W中的元素；
（Ⅱ）設{c_n}是等差數列，S_n是其前n項和，c₃=4，S₃=18，證明數列{S_n}∈W；并寫出M的取值范圍；
（Ⅲ）設數列{d_n}∈W，且對滿足條件的常數M，存在正整數k，使d_k=M．
求證：d_k+1＞d_k+2＞d_k+3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要判斷數列不為集合中的元素，只需要在數列中找一個元素不是集合中的元素即可．要判斷數列為集合中的元素，需要嚴格證明，對于數列{b_n}，當n?{1，2，3，4，5}時，看數列{b_n}是否滿足集合W的條件①②即可．
（Ⅱ）是證明題．要證明數列{S_n}∈W，首先利用題中的條件：{c_n}是等差數列，S_n是其前n項和，c₃=4，S₃=18確定出數列{S_n}，然后再證明滿足①②即可．
（Ⅲ）也是證明題．要求證d_k+1＞d_k+2＞d_k+3，數列{d_n}∈W所以滿足W的兩個條件，得到

dk+dk+2

2

＜dk+1．整理得d_k+2＜d_k+1+（d_k+1-d_k）=d_k+1+（d_k+1-M），因為d_k=M，得到d_k+1≤M，即d_k+2＜d_k+1；又因為

dk+1+dk+3

2

＜dk+2，得到d_k+3＜d_k+2+（d_k+2-d_k+1）＜d_k+2，整理可得證．

解答：解：（Ⅰ）對于數列{a_n}，當n=1時，

a1+a3

2

=2=a₂，
顯然不滿足集合W的條件①，故{a_n}不是集合W中的元素．（2分）
對于數列{b_n}，當n={1，2，3，4，5}時，
不僅有

b1+b3

2

=3＜b2，

b2+b4

2

=4＜b3，

b3+b5

2

=3＜b4，
而且有b_n≤5，顯然滿足集合W的條件①②，故{b_n}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{c_n}是等差數列，S_n是其前n項和，c₃=4，S₃=18，設其公差為d，
∴c₃-2d+c₃-d+c₃=18，
∴d=-2
∴c_n=c₃+（n-3）d=-2n+10，S_n=-n²+9n（7分）
∵

Sn+Sn+2

2

-Sn+1=-1＜0，∴

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1；
∵Sn=-(n-

9

2

)2+

81

4

，∴S_n的最大值是S₄=S₅=20，即S_n≤S₄=20．
∴{S_n}∈W，且M的取值范圍是[20，+∞）（9分）
（Ⅲ）證明：∵{d_n}∈W，∴

dk+dk+2

2

＜dk+1，
整理d_k+2＜d_k+1+（d_k+1-d_k）=d_k+1+（d_k+1-M），
∵d_k=M，∴d_k+1≤M，∴d_k+2＜d_k+1；
又∵

dk+1+dk+3

2

＜dk+2，∴d_k+3＜d_k+2+（d_k+2-d_k+1）＜d_k+2，
∴d_k+1＞d_k+2＞d_k+3．（14分）

點評：此題考查運用題中定義的函數解決問題的能力，以及數列與集合關系的判斷．