Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90 ，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3.

（1）求證：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分別為線段BC、SB上的一點（端點除外），滿足.（）
①求證：對于任意的，恒有SC∥平面AEF；
②是否存在，使得△AEF為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）∵平面∴∴∴平面∴平面平面（2）①∴SC∥平面AEF②

試題分析：（Ⅰ）∵平面，
∴     ……………1分
∵底面為直角梯形，，，
∴    ……………2分
∵
∴平面     …………3分
∵平面
∴平面平面 …………4分
（Ⅱ）（ⅰ）∵，∴………5分
∵平面，  平面，………6分
∴對于任意的，恒有SC∥平面AEF………7分
（ⅱ）存在，使得為直角三角形. ………8分
若，即
由（Ⅰ）知，平面，∵平面，∴ ，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
，，
.    ………10分
②若，即由①知，，
平面，∴平面，
又因平面，這與過一點有且只有一條直線與已知平面垂直相矛盾，
∴.  ………12分
③若，即由（ⅰ）知，，∴
又∵平面，平面，
∴ ，∴平面
∴這與相矛盾，故
綜上，當且僅當，使得為直角三角形. ……… 14分
點評：第二小題②采用空間向量求解比較簡單