Question

如圖，在四棱錐中，底面，， ，   ，是的中點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析。（Ⅱ）證明：見解析。（Ⅲ）二面角的正切值是．

試題分析：（1）根據題目中的線面的垂直性質定理得到線線垂直的證明。
（2）利用上一問的結論和線面垂直的判定定理得到證明。
（3）結合三垂線定理作出二面角的平面角，然后借助于三角形來求解大小。
（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內的射影是，，．
又，綜上得平面．………………………………（8分）
（Ⅲ）解法一：過點作，垂足為，連結．則（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．設，
可得．
在中，，，
則．
在中，．
所以二面角的正切值為．……………………………………（12分）
解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為．
過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，連結，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，設，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的正切值是．
（建立直角坐標系相應給分）
點評：解決該試題的關鍵是能合理的建立空間直角坐標系，表示出法向量以及直線的方向向量，借助于向量的知識來得到證明和求解，或者借助于線面的垂直的判定定理和性質定理得到結論。