Question

【題目】在四棱錐中，底面是一直角梯形，，,，，底面.

（1）在線段上是否存在一點F，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，試說明理由；

（2）在（1）的條件下，若與所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，2；（2）.

【解析】

（1）假設存在點F，建立如圖所示的空間直角坐標系，F，寫出的坐標，并求出面平面的一個法向量，利用求出的值，即可得答案；

（2），，因為與所成的角為，可得，

取平面的一個法向量，利用向量的坐標運算求出，即可得答案；

（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，D，，，C，設，則P，假設存在點F，使平面，F，

設平面的一個法向量為，

，，，

則，取，則，，

∴，要使平面，

則，即，，解得：，

所以.

（2），，因為與所成的角為，所以

，則

由（1）知平面的一個法向量為，

∵，，，∴，，

∴，∴，

又平面，∴，則平面，

所以，取平面的一個法向量，則

，

所以二面角的余弦值為.