Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）當時，試判斷零點的個數；

（Ⅲ）當時，若對，都有（）成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單減區間為；當時，的單減區間為，單增區間為；（2）兩個；（3）0.

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）當時，由（1）可知，在是單減函數，在是單增函數，由，，利用零點存在定理可得結果；（3）當，為整數，且當時，恒成立，，利用導數求出的取值范圍，從而可得結果.

（1），

.

當時，在恒成立，

在是單減函數.

當時，令，解之得.

從而，當變化時，，隨的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調遞減		單調遞增

由上表中可知，在是單減函數，在是單增函數.

綜上，當時，的單減區間為；

當時，的單減區間為，單增區間為.

（2）當時，由（1）可知，在是單減函數，在是單增函數；

又，，.

，；

故在有兩個零點.

（3）當，為整數，且當時，恒成立

.

令，只需；

又，

由（2）知，在有且僅有一個實數根，

在上單減，在上單增；

又，，

，且，

即代入式，得

.

而在為增函數，，

即.

而，，

即所求的最大值為0.