Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x2+2x．
（1）現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；

（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式和值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，補(bǔ)出完整函數(shù)圖象如有圖：

所以f（x）的遞增區(qū)間是（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：設(shè)x＞0，則﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（﹣x）=f（x），所以x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣2x，

故f（x）的解析式為

值域?yàn)閧y|y≥﹣1}

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由此補(bǔ)出完整函數(shù)f（x）的圖象即可，再由圖象直接可寫(xiě)出f（x）的增區(qū)間．（2）可由圖象利用待定系數(shù)法求出x＞0時(shí)的解析式，也可利用偶函數(shù)求解析式，值域可從圖形直接觀察得到．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)性，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種才能得出正確答案．