Question

【題目】已知一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，其中一個公共點的坐標為（c，0），且當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）當a=1， 時，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0對所有k∈[﹣1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1， 時， ，

f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，

∵ ，設另一個根為x2，則 ，∴x2=1，

則 f（x）＜0的解集為

（2）解：f（x）的圖象與x軸有兩個交點，

∵f（c）=0，設另一個根為x2，則 ，

又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則 ，

∴f（x）＜0的解集為

（3）解：由（2）的f（x）的圖象與坐標軸的交點分別為

這三交點為頂點的三角形的面積為 ，

∴ 故

（4）解：∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，

又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）

要使m2﹣2km≥0，對所有k∈[﹣1，1]恒成立，則

當m＞0時，m≥（2k）max=2

當m＜0時，m≤（2k）min=﹣2

當m=0時，02≥2k0，對所有k∈[﹣1，1]恒成立

從而實數(shù)m的取值范圍為 m≤﹣2或m=0或m≥2

【解析】（1）當a=1， c = 時,f（x）與x軸有兩個交點，由此能求出f（x）＜0的解集，（2）f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，再判斷出兩根的大小可得f（x）＜0的解集，（3）由（2）問中，得出f（x）與坐標軸的交點分別為 ( c ， 0 ) ， ( ， 0 ) ， ( 0 ， c ),算出三角形的面積，由此求得a的取值范圍，（4）f（c）=0，知ac2+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，當時，；當時在上遞減，當時，；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．