Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．

解答：解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

(a≥-1)，
（1）當(dāng)-1≤a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0，解得x=

1

a

．f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表

x	(-1， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）		極小值

從上表可知
當(dāng)x∈(-1，

1

a

)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在(-1，

1

a

)上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈(

1

a

，+∞)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在(

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)-1≤a≤0時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在(-1，

1

a

)上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在(

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)的增減性的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．