Question

【題目】已知a是實常數，函數．

（1）若曲線在處的切線過點A（0，﹣2），求實數a的值；

（2）若有兩個極值點（），

①求證：；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題本題考查導數的運用：求切線方程和單調區間、極值，主要考查導數的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數的單調性的運用，屬于中檔題．第一問，求出的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程，代入點（0，﹣2），即可解得a；第二問，①依題意：有兩個不等實根（），設，求出導數，討論當a≥0時，當a＜0時，求得函數g（x）的單調性，令極大值大于0，解不等式即可得證；②由①知：，變化，求得的增區間，通過導數，判斷，設（0＜x＜1），求得h（x）的單調性，即可得證．

試題解析：（1）由已知可得，（x＞0），切點，

在x=1處的切線斜率為，

切線方程：，

把代入得：a=1；

（2）證明：①依題意：有兩個不等實根（），

設則：（x＞0）

當a≥0時，有，所以是增函數，不符合題意；

當a＜0時：由得：，

列表如下：

依題意：，解得：，

綜上可得，得證；

②由①知：，變化如下：

由表可知：在[x1，x2]上為增函數，所以：

又，故，

由（1）知：，（）

設（），則成立，所以單調遞減，

故：，也就是,

綜上所證：成立．