Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知半徑為的圓，圓心在軸正半軸上，且與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）在圓上，是否存在點，滿足，其中，點的坐標是.若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；

（3）若在圓上存在點，使得直線與圓相交不同兩點，求的取值范圍.并求出使得的面積最大的點的坐標及對應的的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在點滿足條件；（3），.

【解析】

試題分析：（1）設圓心坐標是，可根據點到直線距離公式求得，即可得到圓的方程；（2）假設存在這樣的點，則有，然后判斷與有無交點即可；（3）根據圓心到直線的距離小于半徑即可求的取值范圍，的面積表示為關于的函數，利用配方法可求最值.

試題解析：（1）設圓心是，它到直線的距離是，解得或（舍去）,所以,所求圓的方程是.

（2）假設存在這樣的點，則由，得.

即，點P在圓D:上，點P也在圓C:上.

因為，所以圓C與圓D外離，圓C與圓D沒有公共點.所以，不存在點滿足條件.

（3）存在，理由如下：因為點在圓上，所以，且.

因為原點到直線的距離，解得

而，所以,

因為，所以當，即時，取得最大值，

此時點的坐標是或，的面積的最大值是.