Question

已知函數(shù)f(x)（x∈R且x＞0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1時(shí)，f(x)＞0恒成立。
（1）求f(1)；
（2）證明方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根；
（3）若x∈[1，+∞)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，則，∴。
（2）任取，則，
由題意，，
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)- f(y)=f(x)，
，
∴，
∴函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由（1）和f(1)=0，所以1為方程f(x)=0的一個(gè)實(shí)根，若還存在一個(gè)，且＞0，使得，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，必有，
故方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根。
（3）由（2）知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，不等式恒成立，
即，即，
即在x∈[1，+∞)時(shí)，恒成立，
∵，
∴a＞-2。