Question

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，
（1）將四邊形EFGH的面積S表示成x的函數，并寫出函數的定義域；
（2）當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）分別求出矩形四個角落的三角形的面積，再利用矩形的面積減去四個角落的三角形的面積，可得四邊形EFGH的面積S；
（2）先配方，確定函數的對稱軸，再與函數的定義域結合，分類求出四邊形EFGH的面積最大值．

解答：解：（1）由題意，S△AHE=S△CGF=

1

2

x2，S△DGH=S△BEF=

1

2

(a-x)(b-x)
∴SEFGH=ab-2[

1

2

x2+

1

2

(a-x)(b-x)]=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）…（5分）
（2）S_EFGH=-2x2+(a+b)x=-2(x-

a+b

4

)2+

(a+b)2

8

（0＜x≤b）
若

a+b

4

≤b，即b＜a≤3b時，當x=

a+b

4

時，Smax=

(a+b)2

8

…（9分）
若

a+b

4

＞b，即a＞3b時，S（x）在（0，b]上為增函數，當x=b時，Smax=ab-b2…（12分）

點評：本題重點考查四邊形面積的計算，考查利用配方法求二次函數的最值，應注意函數的對稱軸與區間結合，確定分類的標準．