Question

設函數，其導函數為.
（1）若，求函數在點處的切線方程；
（2）求的單調區間；
（3）若為整數，若時，恒成立，試求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）的單調減區間是：，增區間是：；（3）整數k的最大值為2.

試題分析：（1）時，，求導函數得，可得切線方程；（2）,當在上單調遞增，當時，通過可得函數的單調區間；（3）若時，恒成立，只需的最小值即可，，又在單調遞增，而，知在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點且，得.可得整數k的最大值為2.
解：（1）因為時，，所以，
故切線方程是 
（2）的定義域為R，，
若在上單調遞增；
若解得，
當變化時，變化如下表：

	減	極小值	增

 
所以的單調減區間是：，增區間是：． 
（3）即  ① ，
令則．
由（1）知，函數在單調遞增，而，
所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，
且．
當時，；當時，，所以
．
又由，即得，所以，
這時．
由于①式等價，故整數k的最大值為2.