Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點，PA＝AD.

求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

試題1)證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等； (2)證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化.

試題解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD

∴CD⊥PA.

又矩形ABCD中，CD⊥AD，

∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD

∴CD⊥平面PAD，

平面PAD∴CD⊥PD.

(2)取PD的中點G，連結AG，FG.又∵G、F分別是PD、PC的中點，

∴

∴

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

∴AG∥EF.

∵PA＝AD，G是PD的中點，

∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，

∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD.

∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD

∴EF⊥平面PCD.