Question

【題目】已知函數，g（x）＝f（x）﹣3．

（1）判斷并證明函數g（x）的奇偶性；

（2）判斷并證明函數g（x）在（1，+∞）上的單調性；

（3）若f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 奇函數，見解析 (2) 單調遞增，證明見解析(3) [﹣1，3]．

【解析】

（1）函數g（x）為奇函數，計算得到得到證明.

（2）函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增，設1＜x1＜x2，計算g（x1）﹣g（x2）＜0得到證明.

（3）根據函數的單調性得到不等式m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，計算得到答案.

（1）根據題意，g（x）為奇函數，

g（x）＝f（x）﹣33＝﹣（），

其定義域為{x|x≠﹣1且x≠0且x≠1}，關于原點對稱，

則有g（﹣x）＝﹣（）＝﹣g（x），則函數g（x）為奇函數；

（2）根據題意，函數g（x）在（1，+∞）上的單調遞增，設1＜x1＜x2，

g（x1）﹣g（x2）＝﹣[]+[]

＝（x1﹣x2）[]，

又由1＜x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）＜0，則函數g（x）在（1，+∞）上的單調遞增，

（3）根據題意，g（x）在（1，+∞）上的單調遞增，

f（x）＝g（x）+3在（1，+∞）上的單調遞增；

又由m2﹣2m+7＝（m﹣1）2+6＞1，2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞1

f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，解可得：﹣1≤m≤3；

即m的取值范圍為[﹣1，3]．