Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函數f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函數f（x）=sinkx∈M，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=x代入定義（x+T）=T f（x）驗證知函數f（x）=x不屬于集合M．
（2）由題意存在x∈R使得a^x=x，由新定義知存在非零常數T使得a^T=T，將函數關系式代入f（x+T）=T f（x）驗證知
f（x）=a^x∈M．
（3）若函數f（x）=sinkx∈M，依據定義應該有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]對任意實數都成立，故T=±1．將T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范圍即可．

解答：解：（1）對于非零常數T，
f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因為對任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∉M；
（2）因為函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，
所以方程組：

y=ax y=x

有解，消去y得a^x=x，
顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數T，使a^T=T．
于是對于f（x）=a^x有f（x+T）=a^x+T=a^T•a^x=T•a^x=Tf（x）故f（x）=a^x∈M；
（3）當k=0時，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M．
當k≠0時，因為f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常數T，
對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，當T=1時，sin（kx+k）=sinkx成立，
則k=2mπ，m∈Z．
當T=-1時，sin（kx-k）=-sinkx成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx成立，
則-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．
綜合得，實數k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}．

點評：考查新定義下問題的證明與求解，此類題的特點是探究時只能以新定義的規則為依據，不能引入熟悉的算法，這是做此類題時要注意的．